Perbandingan Akurasi dan Konvergensi Metode Bisection dan Newton-Raphson pada Persamaan Nonlinear

Abstract

Pencarian akar persamaan nonlinear merupakan masalah dasar dalam metode numerik yang sering muncul di bidang teknik, sains, dan pemodelan komputer karena banyak persamaan tidak dapat diselesaikan dengan rumus langsung. Penelitian ini bertujuan membandingkan metode Bisection dan Newton-Raphson dari segi ketelitian, konvergensi, jumlah iterasi, dan biaya evaluasi fungsi, serta menguji ketahanannya terhadap pilihan nilai awal dan akar ganda. Kedua metode dibuat dengan bahasa pemrograman Python dan diuji pada tiga fungsi nonlinear dengan tiga tingkat toleransi, yaitu 10−3, 10−6, dan 10−9. Pada setiap pengujian dicatat akar hampiran, jumlah iterasi, error mutlak terhadap akar acuan, dan waktu hitung, sedangkan orde konvergensi Newton-Raphson ditaksir dengan aritmetika presisi tinggi. Pada toleransi 10−9, Newton-Raphson memerlukan 4–6 iterasi, sedangkan Bisection memerlukan 30–31 iterasi yang sama dengan prediksi teoretisnya. Newton-Raphson juga memerlukan evaluasi fungsi yang lebih sedikit, yaitu 8–12 dibandingkan 32–33. Orde konvergensi Newton-Raphson yang terukur mendekati 2, tetapi metode ini peka terhadap nilai awal: pada rentang −3 sampai 3, hanya 53,4% nilai awal pada fungsi ketiga yang menuju akar acuan. Pada akar ganda, konvergensi Newton-Raphson turun menjadi linear dengan rasio error sekitar 0,5, sedangkan Bisection tidak dapat dijalankan karena tidak ada perubahan tanda. Bisection cocok bila keandalan menjadi prioritas, sedangkan Newton-Raphson cocok bila turunan tersedia dan nilai awal dekat dengan akar. Hasil ini dapat dipakai sebagai pedoman memilih metode.